Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di integrali di funzioni esponenziali. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo risolvere l'integrale $\int \left(2x+7\right)e^{\left(x^2+7x\right)}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x^2+7x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=x^2+7x$
Trovare la derivata
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $n=7$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dx$ nell'equazione precedente
Applicare la formula: $\frac{a}{a}$$=1$, dove $a=2x+7$ e $a/a=\frac{\left(2x+7\right)e^u}{2x+7}$
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int e^xdx$$=e^x+C$, dove $x=u$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x^2+7x$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x^2+7x$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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