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Calculatrice Intégrales par expansion de fractions partielles

Résolvez vos problèmes de mathématiques avec notre calculatrice Intégrales par expansion de fractions partielles étape par étape. Améliorez vos compétences en mathématiques grâce à notre longue liste de problèmes difficiles. Retrouvez tous nos calculateurs ici.

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sinh
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coth
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für integrale durch partielle bruchrechnung. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:

$\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$

Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$

Ermitteln Sie die Werte für die unbekannten Koeffizienten: $A, B$. Der erste Schritt ist die Multiplikation beider Seiten der Gleichung aus dem vorherigen Schritt mit $x\left(x+1\right)$

$1=x\left(x+1\right)\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\right)$

Multiplikation von Polynomen

$1=\frac{x\left(x+1\right)A}{x}+\frac{x\left(x+1\right)B}{x+1}$

Vereinfachung

$1=\left(x+1\right)A+xB$

Indem wir $x$ Werte zuweisen, erhalten wir das folgende System von Gleichungen

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(x=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1)\end{matrix}$

Lösen Sie nun das lineare Gleichungssystem

$\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}$

Umschreiben in eine Koeffizientenmatrix

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$

Reduktion der Originalmatrix auf eine Identitätsmatrix mit Hilfe der Gaußschen Eliminierung

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$

Das Integral von $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in zerlegten Brüchen ist gleich

$\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}$
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Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung

$\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}$
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Erweitern Sie das Integral $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen

$\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{-1}{x+1}dx$
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Wir können das Integral $\int \frac{-1}{x+1}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x+1$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

$u=x+1$

Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $u=x+1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

Finden Sie die Ableitung

$\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

Die Ableitung einer Summe von zwei oder mehr Funktionen ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=1$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$1$
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Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten

$du=dx$
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Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

$\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{-1}{u}du$

Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $n=1$

$\ln\left|x\right|$
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Das Integral $\int \frac{1}{x}dx$ ergibt sich: $\ln\left(x\right)$

$\ln\left(x\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=u$ und $n=-1$

$-\ln\left|u\right|$

Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $x+1$

$-\ln\left|x+1\right|$
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Das Integral $\int \frac{-1}{u}du$ ergibt sich: $-\ln\left(x+1\right)$

$-\ln\left(x+1\right)$
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Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|$
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Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|+C_0$

Réponse finale au problème

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|+C_0$

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