Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für integration durch trigonometrische substitution. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können das Integral $\int \sqrt{x^2+4}dx$ durch Anwendung der Integrationsmethode der trigonometrischen Substitution lösen, indem wir die Substitution
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $x=2\tan\left(\theta \right)$
Finden Sie die Ableitung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, wobei $x=\theta $
Um nun $d\theta$ in $dx$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $x$ finden. Um $dx$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=2$, $b=\tan\left(\theta \right)$ und $n=2$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, wobei $x=\theta $ und $n=4$
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=4$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ und $n=\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=2\cdot 2\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $a=2$ und $b=2$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ und $n=2$
Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=4$ und $x=\sec\left(\theta \right)^{3}$
Wenden Sie die Formel an: $\int \sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, wobei $dx=d\theta$, $x=\theta $ und $n=3$
Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int \sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=4$ und $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int \sec\left(\theta \right)d\theta$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, wobei $a=4$, $b=2$, $ax/b=4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ und $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, wobei $a=\sqrt{x^2+4}$, $b=2$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=x$, $b=\sqrt{x^2+4}$, $c=x^2+4$, $a/b=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, $f=4$, $c/f=\frac{x^2+4}{4}$ und $a/bc/f=2\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\right)\left(\frac{x^2+4}{4}\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a^n}$$=a^{\left(1-n\right)}$, wobei $a=x^2+4$ und $n=\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=2$, $b=x\sqrt{x^2+4}$ und $c=4$
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Wenden Sie die Formel an: $\int \sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=\theta $
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Das Integral $2\int \sec\left(\theta \right)d\theta$ ergibt sich: $2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Wenden Sie die Formel an: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, wobei $a=2$, $b=2$, $c=C_0$ und $x=\sqrt{x^2+4}+x$
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Les problèmes les plus courants résolus avec cette calculatrice :