Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di sostituzione di weierstrass. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo risolvere l'integrale $\int \frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ applicando il metodo di sostituzione di Weierstrass (noto anche come sostituzione del semiangolo tangente) che converte un integrale di funzioni trigonometriche in una funzione razionale di $t$ impostando la sostituzione
Quindi
Sostituendo l'integrale originale si ottiene
Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=1$, $b=1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Applicare la formula: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, dove $b=1-t^{2}$ e $c=1+t^{2}$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, dove $a=-1+t^{2}$, $b=1+t^{2}$ e $c=2t$
Applicare la formula: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, dove $a=1$, $b=-1+t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Applicare la formula: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, dove $a=2$, $b=2t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ e $b/c=\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Applicare la formula: $\frac{a}{a}$$=1$, dove $a=1+t^{2}$ e $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Fattorizzare il denominatore per $2$
Annullare il fattore comune della frazione $2$
Semplificare
Fattorizzare il polinomio $t^{2}+t$ con il suo massimo fattore comune (GCF): $t$
Riscrivere l'espressione $\frac{1}{t^{2}+t}$ all'interno dell'integrale in forma fattorizzata
Riscrivere la frazione $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
Trovare i valori dei coefficienti incogniti: $A, B$. Il primo passo consiste nel moltiplicare entrambi i lati dell'equazione del passo precedente per $t\left(t+1\right)$
Moltiplicazione di polinomi
Semplificare
Assegnando i valori a $t$ si ottiene il seguente sistema di equazioni
Procedere alla risoluzione del sistema di equazioni lineari
Riscrivere come matrice di coefficienti
Ridurre la matrice originale a una matrice identità utilizzando l'eliminazione gaussiana
L'integrale di $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ in frazioni scomposte è uguale a
Riscrivere la frazione $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
Espandere l'integrale $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente
Possiamo risolvere l'integrale $\int \frac{-1}{t+1}dt$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $t+1$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=t+1$
Trovare la derivata
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=1$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, dove $x=t$
Ora, per riscrivere $dt$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Sostituendo $u$ e $dt$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=t$ e $n=1$
L'integrale $\int \frac{1}{t}dt$ risulta in: $\ln\left(t\right)$
Applicare la formula: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=u$ e $n=-1$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $t+1$
L'integrale $\int \frac{-1}{u}du$ risulta in: $-\ln\left(t+1\right)$
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
Sostituire $t$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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