$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

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Réponse finale au problème

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$
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Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=y$, $b=3$ et $c=x$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
2

Nous pouvons identifier que l'équation différentielle a la forme : $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$ Nous pouvons donc la classer comme une équation différentielle linéaire du premier ordre, où $P(x)=\frac{3}{x}$ et $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Pour résoudre l'équation différentielle, la première étape consiste à trouver le facteur d'intégration. $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calculer l'intégrale

$\int\frac{3}{x}dx$

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $n=3$

$3\ln\left|x\right|$
3

Pour trouver $\mu(x)$, nous devons d'abord calculer $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$

Appliquer la formule : $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, où $a=3$, $b=x$ et $2.718281828459045=e$

$x^3$
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Le facteur d'intégration $\mu(x)$ est donc

$\mu(x)=x^3$

Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=x^3$, $b=3y$ et $c=x$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1}{x^2}x^3$

Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=x^3$, $b=1$ et $c=x^2$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1x^3}{x^2}$

Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=x^3$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{x^3}{x^2}$

Appliquer la formule : $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, où $a^n=x^2$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^2}$, $m=3$ et $n=2$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=x$

Appliquer la formule : $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, où $a^n/a=\frac{3yx^3}{x}$, $a^n=x^3$, $a=x$ et $n=3$

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
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Maintenant, multipliez tous les termes de l'équation différentielle par le facteur d'intégration $\mu(x)$ et vérifiez si nous pouvons simplifier

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
6

Nous pouvons constater que le côté gauche de l'équation différentielle consiste en la dérivée du produit de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
7

Intégrer les deux côtés de l'équation différentielle par rapport à $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
8

Simplifier le côté gauche de l'équation différentielle

$x^3y=\int xdx$

Appliquer la formule : $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$

$\frac{1}{2}x^2$

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$

$\frac{1}{2}x^2+C_0$
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Résoudre l'intégrale $\int xdx$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$

Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=x^2$, $b=1$ et $c=2$

$x^3y=\frac{x^2}{2}+C_0$

Combinez tous les termes en une seule fraction avec $2$ comme dénominateur commun.

$x^3y=\frac{x^2+2\cdot C_0}{2}$

Appliquer la formule : $nc$$=cteint$, où $c=C_0$, $nc=2\cdot C_0$ et $n=2$

$x^3y=\frac{x^2+C_1}{2}$

Appliquer la formule : $xa=\frac{b}{c}$$\to x=\frac{b}{ac}$, où $a=x^3$, $b=x^2+C_1$, $c=2$ et $x=y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$
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Trouvez la solution explicite de l'équation différentielle. Nous devons isoler la variable $y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Réponse finale au problème

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Explorer les différentes manières de résoudre ce problème

Il est important de résoudre un problème mathématique en utilisant différentes méthodes, car cela permet de mieux comprendre, dencourager la pensée critique, de trouver des solutions multiples et de développer des stratégies de résolution de problèmes. En savoir plus

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Tracé de la fonction

Traçage: $\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y+\frac{-1}{x^2}$

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