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Calculatrice Matrices

Résolvez vos problèmes de mathématiques avec notre calculatrice Matrices étape par étape. Améliorez vos compétences en mathématiques grâce à notre longue liste de problèmes difficiles. Retrouvez tous nos calculateurs ici.

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asech
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Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für matrizen. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:

$\int\frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}dx$

Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}$ in $4$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung

$\frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}=\frac{A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{B}{\left(x+4\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+4}$

Ermitteln Sie die Werte für die unbekannten Koeffizienten: $A, B, C, D$. Der erste Schritt ist die Multiplikation beider Seiten der Gleichung aus dem vorherigen Schritt mit $\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2$

$1=\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2\left(\frac{A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{B}{\left(x+4\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+4}\right)$

Multiplikation von Polynomen

$1=\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2B}{\left(x+4\right)^2}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2C}{x-1}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2D}{x+4}$

Vereinfachung

$1=\left(x+4\right)^2A+\left(x-1\right)^2B+\left(x-1\right)\left(x+4\right)^2C+\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)D$

Indem wir $x$ Werte zuweisen, erhalten wir das folgende System von Gleichungen

$\begin{matrix}1=25A&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 1=9A+4B-18C+12D&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=25B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-4) \\ 1=64A+9B+192C+72D&\:\:\:\:\:\:\:(x=4)\end{matrix}$

Lösen Sie nun das lineare Gleichungssystem

$\begin{matrix}25A & + & 0B & + & 0C & + & 0D & =1 \\ 9A & + & 4B & - & 18C & + & 12D & =1 \\ 0A & + & 25B & + & 0C & + & 0D & =1 \\ 64A & + & 9B & + & 192C & + & 72D & =1\end{matrix}$

Umschreiben in eine Koeffizientenmatrix

$\left(\begin{matrix}25 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 9 & 4 & -18 & 12 & 1 \\ 0 & 25 & 0 & 0 & 1 \\ 64 & 9 & 192 & 72 & 1\end{matrix}\right)$

Reduktion der Originalmatrix auf eine Identitätsmatrix mit Hilfe der Gaußschen Eliminierung

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{25} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{25} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{125} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{125}\end{matrix}\right)$

Das Integral von $\frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}$ in zerlegten Brüchen ist gleich

$\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}+\frac{-2}{125\left(x-1\right)}+\frac{2}{125\left(x+4\right)}$
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Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}$ in $4$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung

$\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}+\frac{-2}{125\left(x-1\right)}+\frac{2}{125\left(x+4\right)}$
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Erweitern Sie das Integral $\int\left(\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}+\frac{-2}{125\left(x-1\right)}+\frac{2}{125\left(x+4\right)}\right)dx$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $4$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen

$\int\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}dx+\int\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}dx+\int\frac{-2}{125\left(x-1\right)}dx+\int\frac{2}{125\left(x+4\right)}dx$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=1$, $b=\left(x-1\right)^2$ und $c=25$

$\frac{1}{25}\int\frac{1}{\left(x-1\right)^2}dx$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{\left(x+a\right)^c}dx$$=\frac{-n}{\left(c-1\right)\left(x+a\right)^{\left(c-1\right)}}+C$, wobei $a=-1$, $c=2$ und $n=1$

$\frac{1}{25}\frac{-1}{\left(2-1\right)\left(x-1\right)^{\left(2-1\right)}}$

Vereinfachen Sie den Ausdruck

$\frac{-1}{25\left(x-1\right)}$
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Das Integral $\int\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}dx$ ergibt sich: $\frac{-1}{25\left(x-1\right)}$

$\frac{-1}{25\left(x-1\right)}$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=1$, $b=\left(x+4\right)^2$ und $c=25$

$\frac{1}{25}\int\frac{1}{\left(x+4\right)^2}dx$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{\left(x+a\right)^c}dx$$=\frac{-n}{\left(c-1\right)\left(x+a\right)^{\left(c-1\right)}}+C$, wobei $a=4$, $c=2$ und $n=1$

$\frac{1}{25}\frac{-1}{\left(2-1\right)\left(x+4\right)^{\left(2-1\right)}}$

Vereinfachen Sie den Ausdruck

$\frac{-1}{25\left(x+4\right)}$
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Das Integral $\int\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}dx$ ergibt sich: $\frac{-1}{25\left(x+4\right)}$

$\frac{-1}{25\left(x+4\right)}$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=-2$, $b=x-1$ und $c=125$

$\frac{1}{125}\int\frac{-2}{x-1}dx$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, wobei $b=-1$, $n=-2$ und $x+b=x-1$

$-2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left|x-1\right|$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=125$, $c=-2$, $a/b=\frac{1}{125}$ und $ca/b=-2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left(x-1\right)$

$-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|$
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Das Integral $\int\frac{-2}{125\left(x-1\right)}dx$ ergibt sich: $-\frac{2}{125}\ln\left(x-1\right)$

$-\frac{2}{125}\ln\left(x-1\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=2$, $b=x+4$ und $c=125$

$\frac{1}{125}\int\frac{2}{x+4}dx$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, wobei $b=4$, $n=2$ und $x+b=x+4$

$2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left|x+4\right|$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=125$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{125}$ und $ca/b=2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left(x+4\right)$

$\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right|$
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Das Integral $\int\frac{2}{125\left(x+4\right)}dx$ ergibt sich: $\frac{2}{125}\ln\left(x+4\right)$

$\frac{2}{125}\ln\left(x+4\right)$
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Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

$\frac{-1}{25\left(x-1\right)}+\frac{-1}{25\left(x+4\right)}-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|+\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right|$
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Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$

$\frac{-1}{25\left(x-1\right)}+\frac{-1}{25\left(x+4\right)}-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|+\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right|+C_0$

Réponse finale au problème

$\frac{-1}{25\left(x-1\right)}+\frac{-1}{25\left(x+4\right)}-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|+\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right|+C_0$

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