Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de equation différentielle homogène. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons identifier que l'équation différentielle $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ est homogène, puisqu'elle s'écrit sous la forme standard $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, où $M(x,y)$ et $N(x,y)$ sont les dérivées partielles d'une fonction à deux variables $f(x,y)$ et toutes deux sont des fonctions homogènes de même degré.
Utiliser la substitution : $y=ux$
Factoriser le polynôme $2x+ux$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $x$
Développer la fraction $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ en $2$ fractions plus simples à dénominateur commun $dx$
Simplifier les fractions obtenues
Multipliez le terme unique $-1$ par chaque terme du polynôme $\left(4x+3ux\right)$
Factoriser le polynôme $-4x-3ux$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $-x$
Appliquer la formule : $\frac{a}{a}$$=1$, où $a=x$ et $a/a=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$
Multipliez le terme unique $-1$ par chaque terme du polynôme $\left(4+3u\right)$
Appliquer la formule : $x+a=b$$\to x=b-a$, où $a=u$, $b=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x+a=b=u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x=\frac{x\cdot du}{dx}$ et $x+a=u+\frac{x\cdot du}{dx}$
Combinez tous les termes en une seule fraction avec $2+u$ comme dénominateur commun.
Combinaison de termes similaires $-3u$ et $-2u$
Regroupez les termes de l'équation différentielle. Déplacez les termes de la variable $u$ vers le côté gauche et les termes de la variable $x$ vers le côté droit de l'égalité.
Simplifier l'expression $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$
Élargir et simplifier
Appliquer la formule : $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, où $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ et $dxa=\frac{1}{x}dx$
Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=2+u$, $b=\left(u+1\right)\left(u+4\right)$ et $c=-1$
Réécrire la fraction $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
Développez l'intégrale $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.
Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=1$, $b=u+1$ et $c=3$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ et $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du$
Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=2$, $b=u+4$ et $c=3$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ et $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du$
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, où $a=4$, $b=u$ et $n=2$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=-1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=-\frac{1}{3}$ et $ca/b=2\left(-\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{4+u}du$
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{u+1}du$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $v$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $u+1$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $v$ et assignons-la à la partie choisie
Maintenant, pour réécrire $du$ en termes de $dv$, nous devons trouver la dérivée de $v$. Nous devons calculer $dv$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
En substituant $v$ et $du$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=v$ et $n=1$
Remplacez $v$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $u+1$
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{4+u}du$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $v$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $4+u$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $v$ et assignons-la à la partie choisie
Maintenant, pour réécrire $du$ en termes de $dv$, nous devons trouver la dérivée de $v$. Nous devons calculer $dv$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
En substituant $v$ et $du$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=v$ et $n=1$
Remplacez $v$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $4+u$
Résoudre l'intégrale $\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $n=1$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{x}dx$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle
Remplacer $u$ par la valeur $\frac{y}{x}$
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