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Calculatrice Equation différentielle homogène

Résolvez vos problèmes de mathématiques avec notre calculatrice Equation différentielle homogène étape par étape. Améliorez vos compétences en mathématiques grâce à notre longue liste de problèmes difficiles. Retrouvez tous nos calculateurs ici.

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log
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csc

asin
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atan
acot
asec
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sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de equation différentielle homogène. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :

$\frac{dy}{dx}=-\frac{4x+3y}{2x+y}$
2

Nous pouvons identifier que l'équation différentielle $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ est homogène, puisqu'elle s'écrit sous la forme standard $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, où $M(x,y)$ et $N(x,y)$ sont les dérivées partielles d'une fonction à deux variables $f(x,y)$ et toutes deux sont des fonctions homogènes de même degré.

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$
3

Utiliser la substitution : $y=ux$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{2x+ux}$

Factoriser le polynôme $2x+ux$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $x$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{x\left(2+u\right)}$

Développer la fraction $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ en $2$ fractions plus simples à dénominateur commun $dx$

$\frac{u\cdot dx}{dx}+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{x\left(2+u\right)}$

Simplifier les fractions obtenues

$u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4x+3ux\right)}{x\left(2+u\right)}$

Multipliez le terme unique $-1$ par chaque terme du polynôme $\left(4x+3ux\right)$

$u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4x-3ux}{x\left(2+u\right)}$

Factoriser le polynôme $-4x-3ux$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $-x$

$u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$

Appliquer la formule : $\frac{a}{a}$$=1$, où $a=x$ et $a/a=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$

$u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-\left(4+3u\right)}{2+u}$

Multipliez le terme unique $-1$ par chaque terme du polynôme $\left(4+3u\right)$

$u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}$

Appliquer la formule : $x+a=b$$\to x=b-a$, où $a=u$, $b=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x+a=b=u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x=\frac{x\cdot du}{dx}$ et $x+a=u+\frac{x\cdot du}{dx}$

$\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}-u$

Combinez tous les termes en une seule fraction avec $2+u$ comme dénominateur commun.

$\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u-2u-u^2}{2+u}$

Combinaison de termes similaires $-3u$ et $-2u$

$\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-5u-u^2}{2+u}$

Regroupez les termes de l'équation différentielle. Déplacez les termes de la variable $u$ vers le côté gauche et les termes de la variable $x$ vers le côté droit de l'égalité.

$\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du=\frac{1}{x}dx$

Simplifier l'expression $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$

$\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$
4

Élargir et simplifier

$\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$
5

Appliquer la formule : $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, où $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ et $dxa=\frac{1}{x}dx$

$\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\int\frac{1}{x}dx$

Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=2+u$, $b=\left(u+1\right)\left(u+4\right)$ et $c=-1$

$-\int\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$

Réécrire la fraction $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions

$\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}$

Développez l'intégrale $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.

$-\int\frac{1}{3\left(u+1\right)}du-\int\frac{2}{3\left(u+4\right)}du$

Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=1$, $b=u+1$ et $c=3$

$- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du-\int\frac{2}{3\left(u+4\right)}du$

Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ et $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du$

$-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du-\int\frac{2}{3\left(u+4\right)}du$

Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=2$, $b=u+4$ et $c=3$

$-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du$

Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ et $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du$

$-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du-\frac{1}{3}\int\frac{2}{u+4}du$

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, où $a=4$, $b=u$ et $n=2$

$-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du+2\left(-\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{4+u}du$

Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=-1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=-\frac{1}{3}$ et $ca/b=2\left(-\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{4+u}du$

$-\frac{1}{3}\int\frac{1}{u+1}du-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du$

Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{u+1}du$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $v$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $u+1$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $v$ et assignons-la à la partie choisie

$v=u+1$

Maintenant, pour réécrire $du$ en termes de $dv$, nous devons trouver la dérivée de $v$. Nous devons calculer $dv$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.

$dv=du$

En substituant $v$ et $du$ dans l'intégrale et en simplifiant

$-\frac{1}{3}\int\frac{1}{v}dv-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du$

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=v$ et $n=1$

$-\frac{1}{3}\ln\left|v\right|-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du$

Remplacez $v$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $u+1$

$-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\int\frac{1}{4+u}du$

Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{4+u}du$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $v$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $4+u$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $v$ et assignons-la à la partie choisie

$v=4+u$

Maintenant, pour réécrire $du$ en termes de $dv$, nous devons trouver la dérivée de $v$. Nous devons calculer $dv$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.

$dv=du$

En substituant $v$ et $du$ dans l'intégrale et en simplifiant

$-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\int\frac{1}{v}dv$

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=v$ et $n=1$

$-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|v\right|$

Remplacez $v$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $4+u$

$-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|4+u\right|$
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Résoudre l'intégrale $\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle

$-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|4+u\right|=\int\frac{1}{x}dx$

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $n=1$

$\ln\left|x\right|$

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$

$\ln\left|x\right|+C_0$
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Résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{x}dx$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle

$-\frac{1}{3}\ln\left|u+1\right|-\frac{2}{3}\ln\left|4+u\right|=\ln\left|x\right|+C_0$
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Remplacer $u$ par la valeur $\frac{y}{x}$

$-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)-\frac{2}{3}\ln\left(4+\frac{y}{x}\right)=\ln\left(x\right)+C_0$

Réponse finale au problème

$-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)-\frac{2}{3}\ln\left(4+\frac{y}{x}\right)=\ln\left(x\right)+C_0$

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