Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für homogene differentialgleichung. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können feststellen, dass die Differentialgleichung $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ homogen ist, da sie in der Standardform $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$ geschrieben ist, wobei $M(x,y)$ und $N(x,y)$ die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen $f(x,y)$ sind und beide homogene Funktionen gleichen Grades sind
Verwenden Sie die Substitution: $y=ux$
Faktorisieren Sie das Polynom $2x+ux$ mit seinem größten gemeinsamen Faktor (GCF): $x$
Faktorisieren Sie das Polynom $\left(4x+3ux\right)$ mit seinem größten gemeinsamen Faktor (GCF): $x$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a}$$=1$, wobei $a=x$ und $a/a=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$
Erweitern Sie den Bruch $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ in $2$ einfachere Brüche mit gemeinsamem Nenner $dx$
Vereinfachen Sie die resultierenden Brüche
Multiplizieren Sie den Einzelterm $-1$ mit jedem Term des Polynoms $\left(4+3u\right)$
Wenden Sie die Formel an: $x+a=b$$\to x=b-a$, wobei $a=u$, $b=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x+a=b=u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x=\frac{x\cdot du}{dx}$ und $x+a=u+\frac{x\cdot du}{dx}$
Kombiniere alle Terme zu einem einzigen Bruch mit $2+u$ als gemeinsamen Nenner
Die Kombination gleicher Begriffe $-3u$ und $-2u$
Gruppieren Sie die Terme der Differentialgleichung. Verschieben Sie die Terme der Variablen $u$ auf die linke Seite und die Terme der Variablen $x$ auf die rechte Seite der Gleichung
Vereinfachen Sie den Ausdruck $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$
Erweitern und vereinfachen
Wenden Sie die Formel an: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, wobei $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ und $dxa=\frac{1}{x}dx$
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int \frac{a}{b}dx$, wobei $a=2+u$, $b=\left(u+1\right)\left(u+4\right)$ und $c=-1$
Umschreiben des Bruchs $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung
Erweitern Sie das Integral $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int \frac{a}{b}dx$, wobei $a=1$, $b=u+1$ und $c=3$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ und $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int \frac{1}{u+1}du$
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int \frac{a}{b}dx$, wobei $a=2$, $b=u+4$ und $c=3$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ und $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int \frac{2}{u+4}du$
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{a+b}dx$$=n\int \frac{1}{a+b}dx$, wobei $a=4$, $b=u$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=-1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=-\frac{1}{3}$ und $ca/b=2\left(-\frac{1}{3}\right)\int \frac{1}{4+u}du$
Wir können das Integral $\int \frac{1}{u+1}du$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $v$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $u+1$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $v$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $du$ in $dv$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $v$ finden. Um $dv$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Setzen Sie $v$ und $du$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=v$ und $n=1$
Ersetzen Sie $v$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $u+1$
Wir können das Integral $\int \frac{1}{4+u}du$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $v$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $4+u$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $v$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $du$ in $dv$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $v$ finden. Um $dv$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Setzen Sie $v$ und $du$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=v$ und $n=1$
Ersetzen Sie $v$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $4+u$
Lösen Sie das Integral $\int \frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $n=1$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Lösen Sie das Integral $\int \frac{1}{x}dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert $\frac{y}{x}$
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