Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für exakte differentialgleichung. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Die Differentialgleichung $5x^4dx+20y^{19}dy=0$ ist exakt, da sie in der Standardform $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ geschrieben ist, wobei $M(x,y)$ und $N(x,y)$ die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen $f(x,y)$ sind und sie den Test auf Exaktheit erfüllen: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. Mit anderen Worten: Ihre zweiten partiellen Ableitungen sind gleich. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat die Form $f(x,y)=C$
Bestimmen Sie die Ableitung von $M(x,y)$ in Bezug auf $y$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=5x^4$
Bestimmen Sie die Ableitung von $N(x,y)$ in Bezug auf $x$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=20y^{19}$
Mit Hilfe des Exaktheitstests können wir überprüfen, ob die Differentialgleichung exakt ist
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=5$ und $x=x^4$
Wenden Sie die Formel an: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, wobei $n=4$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=5$, $b=x^{5}$ und $c=5$
Da $y$ als Konstante behandelt wird, fügen wir eine Funktion von $y$ als Integrationskonstante hinzu
Integrieren Sie $M(x,y)$ in Bezug auf $x$ und Sie erhalten
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=x^{5}$
Die Ableitung von $g(y)$ lautet $g'(y)$
Nehmen Sie nun die partielle Ableitung von $x^{5}$ nach $y$ und Sie erhalten
Vereinfachen und isolieren $g'(y)$
Wenden Sie die Formel an: $x+0$$=x$, wobei $x=g$
Wenden Sie die Formel an: $a=b$$\to b=a$, wobei $a=20y^{19}$ und $b=g$
Setzen Sie $20y^{19}$ und $0+g'(y)$ einander gleich und isolieren Sie $g'(y)$
Integrieren Sie beide Seiten in Bezug auf $y$
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=20$ und $x=y^{19}$
Wenden Sie die Formel an: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, wobei $x=y$ und $n=19$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=20$, $b=y^{20}$ und $c=20$
Finde $g(y)$ und integriere beide Seiten.
Wir haben unsere $f(x,y)$ gefunden und sie entspricht
Die Lösung der Differentialgleichung lautet dann
Gruppieren Sie die Terme der Gleichung
Wenden Sie die Formel an: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, wobei $a=20$, $b=C_0-x^{5}$ und $x=y$
Wenden Sie die Formel an: $\left(x^a\right)^b$$=x$, wobei $a=20$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt[20]{y^{20}}$, $x=y$ und $x^a=y^{20}$
Wenden Sie die Formel an: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, wobei $a=y$ und $b=\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$
Kombiniert man alle Lösungen, so ergeben sich folgende $2$ Lösungen der Gleichung
Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$
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Les problèmes les plus courants résolus avec cette calculatrice :