Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di equazione differenziale esatta. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
L'equazione differenziale $5x^4dx+20y^{19}dy=0$ è esatta, poiché è scritta nella forma standard $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, dove $M(x,y)$ e $N(x,y)$ sono le derivate parziali di una funzione a due variabili $f(x,y)$ e soddisfano il test di esattezza: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. In altre parole, le loro derivate parziali seconde sono uguali. La soluzione generale dell'equazione differenziale è della forma $f(x,y)=C$
Trovare la derivata di $M(x,y)$ rispetto a $y$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=5x^4$
Trovare la derivata di $N(x,y)$ rispetto a $x$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=20y^{19}$
Utilizzando il test di esattezza, si verifica che l'equazione differenziale è esatta
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=5$ e $x=x^4$
Applicare la formula: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, dove $n=4$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=5$, $b=x^{5}$ e $c=5$
Poiché $y$ è trattato come una costante, aggiungiamo una funzione di $y$ come costante di integrazione
Integrare $M(x,y)$ rispetto a $x$ per ottenere
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=x^{5}$
La derivata di $g(y)$ è $g'(y)$
Prendiamo ora la derivata parziale di $x^{5}$ rispetto a $y$ per ottenere
Semplificare e isolare $g'(y)$
Applicare la formula: $x+0$$=x$, dove $x=g$
Applicare la formula: $a=b$$\to b=a$, dove $a=20y^{19}$ e $b=g$
Impostare $20y^{19}$ e $0+g'(y)$ uguali tra loro e isolare $g'(y)$
Integrate entrambe le parti rispetto a $y$
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=20$ e $x=y^{19}$
Applicare la formula: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, dove $x=y$ e $n=19$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=20$, $b=y^{20}$ e $c=20$
Trova $g(y)$ integrando entrambi i lati
Abbiamo trovato il nostro $f(x,y)$ ed è uguale a
Allora, la soluzione dell'equazione differenziale è
Raggruppare i termini dell'equazione
Applicare la formula: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, dove $a=20$, $b=C_0-x^{5}$ e $x=y$
Applicare la formula: $\left(x^a\right)^b$$=x$, dove $a=20$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt[20]{y^{20}}$, $x=y$ e $x^a=y^{20}$
Applicare la formula: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, dove $a=y$ e $b=\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$
Combinando tutte le soluzioni, le soluzioni $2$ dell'equazione sono
Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$
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