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Calculatrice Equation différentielle exacte

Résolvez vos problèmes de mathématiques avec notre calculatrice Equation différentielle exacte étape par étape. Améliorez vos compétences en mathématiques grâce à notre longue liste de problèmes difficiles. Retrouvez tous nos calculateurs ici.

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sinh
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de equation différentielle exacte. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :

$5x^4dx+20y^{19}dy=0$
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L'équation différentielle $5x^4dx+20y^{19}dy=0$ est exacte, puisqu'elle s'écrit sous la forme standard $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, où $M(x,y)$ et $N(x,y)$ sont les dérivées partielles d'une fonction à deux variables $f(x,y)$ et satisfont au test d'exactitude : $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En d'autres termes, leurs dérivées partielles secondes sont égales. La solution générale de l'équation différentielle est de la forme suivante $f(x,y)=C$

$5x^4dx+20y^{19}dy=0$

Trouvez la dérivée de $M(x,y)$ par rapport à $y$

$\frac{d}{dy}\left(5x^4\right)$

Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=5x^4$

0

Trouvez la dérivée de $N(x,y)$ par rapport à $x$

$\frac{d}{dx}\left(20y^{19}\right)$

Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=20y^{19}$

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En utilisant le test d'exactitude, nous vérifions que l'équation différentielle est exacte

$0=0$

Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=5$ et $x=x^4$

$5\int x^4dx$

Appliquer la formule : $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, où $n=4$

$5\left(\frac{x^{5}}{5}\right)$

Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=5$, $b=x^{5}$ et $c=5$

$x^{5}$

Puisque $y$ est traité comme une constante, nous ajoutons une fonction de $y$ comme constante d'intégration

$x^{5}+g(y)$
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Intégrer $M(x,y)$ par rapport à $x$ pour obtenir

$x^{5}+g(y)$

Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=x^{5}$

0

La dérivée de $g(y)$ est $g'(y)$

$0+g'(y)$
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Prenez maintenant la dérivée partielle de $x^{5}$ par rapport à $y$ pour obtenir

$0+g'(y)$

Simplifier et isoler $g'(y)$

$20y^{19}=0+g$

Appliquer la formule : $x+0$$=x$, où $x=g$

$20y^{19}=g$

Appliquer la formule : $a=b$$\to b=a$, où $a=20y^{19}$ et $b=g$

$g=20y^{19}$
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Fixer $20y^{19}$ et $0+g'(y)$ égaux l'un à l'autre et isoler $g'(y)$

$g'(y)=20y^{19}$

Intégrer les deux côtés par rapport à $y$

$g=\int20y^{19}dy$

Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=20$ et $x=y^{19}$

$g=20\int y^{19}dy$

Appliquer la formule : $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, où $x=y$ et $n=19$

$g=20\left(\frac{y^{20}}{20}\right)$

Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=20$, $b=y^{20}$ et $c=20$

$g=y^{20}$
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Trouver $g(y)$ en intégrant les deux côtés

$g(y)=y^{20}$
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Nous avons trouvé notre $f(x,y)$ et il est égal à

$f(x,y)=x^{5}+y^{20}$
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La solution de l'équation différentielle est alors la suivante

$x^{5}+y^{20}=C_0$

Regrouper les termes de l'équation

$y^{20}=C_0-x^{5}$

Appliquer la formule : $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, où $a=20$, $b=C_0-x^{5}$ et $x=y$

$\sqrt[20]{y^{20}}=\pm \sqrt[20]{C_0-x^{5}}$

Appliquer la formule : $\left(x^a\right)^b$$=x$, où $a=20$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt[20]{y^{20}}$, $x=y$ et $x^a=y^{20}$

$y=\pm \sqrt[20]{C_0-x^{5}}$

Appliquer la formule : $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, où $a=y$ et $b=\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$

$y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$

En combinant toutes les solutions, les solutions $2$ de l'équation sont

$y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$
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Trouvez la solution explicite de l'équation différentielle. Nous devons isoler la variable $y$

$y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$

Réponse finale au problème

$y=\sqrt[20]{C_0-x^{5}},\:y=-\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$

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