Calculatrice Division synthétique des polynômes

Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de division synthétique des polynômes. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :

Nous pouvons factoriser le polynôme $x^4+x^3-6x^2-4x+8$ en utilisant le théorème des racines rationnelles, qui garantit que pour un polynôme de la forme $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ il existe une racine rationnelle de la forme $\pm\frac{p}{q}$, où $p$ appartient aux diviseurs du terme constant $a_0$, et $q$ appartient aux diviseurs du coefficient principal $a_n$. Dressez la liste de tous les diviseurs $p$ du terme constant $a_0$, qui est égal à $8$

Dressez ensuite la liste de tous les diviseurs du premier coefficient $a_n$, qui est égal à $1$

Les racines possibles $\pm\frac{p}{q}$ du polynôme $x^4+x^3-6x^2-4x+8$ sont alors les suivantes

En essayant toutes les racines possibles, nous avons trouvé que $2$ est une racine du polynôme. Lorsque nous l'évaluons dans le polynôme, nous obtenons $0$ comme résultat.

Maintenant, divisez le polynôme par la racine que nous avons trouvée $\left(x-2\right)$ en utilisant la division synthétique (règle de Ruffini). Tout d'abord, écrivez les coefficients des termes du numérateur dans l'ordre décroissant. Ensuite, prenez le premier coefficient $1$ et multipliez-le par le facteur $2$. Ajoutez le résultat au deuxième coefficient et multipliez-le par $2$ et ainsi de suite.

Dans la dernière ligne de la division apparaissent les nouveaux coefficients, avec un reste égal à zéro. Maintenant, réécrivez le polynôme (un degré de moins) avec les nouveaux coefficients, et multiplié par le facteur $\left(x-2\right)$

Nous pouvons factoriser le polynôme $\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$ en utilisant le théorème des racines rationnelles, qui garantit que pour un polynôme de la forme $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ il existe une racine rationnelle de la forme $\pm\frac{p}{q}$, où $p$ appartient aux diviseurs du terme constant $a_0$, et $q$ appartient aux diviseurs du coefficient principal $a_n$. Dressez la liste de tous les diviseurs $p$ du terme constant $a_0$, qui est égal à $-4$

Dressez ensuite la liste de tous les diviseurs du premier coefficient $a_n$, qui est égal à $1$

Les racines possibles $\pm\frac{p}{q}$ du polynôme $\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$ sont alors les suivantes

En essayant toutes les racines possibles, nous avons trouvé que $-2$ est une racine du polynôme. Lorsque nous l'évaluons dans le polynôme, nous obtenons $0$ comme résultat.

Maintenant, divisez le polynôme par la racine que nous avons trouvée $\left(x+2\right)$ en utilisant la division synthétique (règle de Ruffini). Tout d'abord, écrivez les coefficients des termes du numérateur dans l'ordre décroissant. Ensuite, prenez le premier coefficient $1$ et multipliez-le par le facteur $-2$. Ajoutez le résultat au deuxième coefficient et multipliez-le par $-2$ et ainsi de suite.

Dans la dernière ligne de la division apparaissent les nouveaux coefficients, avec un reste égal à zéro. Maintenant, réécrivez le polynôme (un degré de moins) avec les nouveaux coefficients, et multiplié par le facteur $\left(x+2\right)$

Factoriser le trinôme $\left(x^{2}+x-2\right)$ en trouvant deux nombres qui se multiplient pour former $-2$ et la forme additionnée. $1$

Réécrire le polynôme comme le produit de deux binômes composés de la somme de la variable et des valeurs trouvées.

Appliquer la formule : $x\cdot x$$=x^2$, où $x=x+2$