Réponse finale au problème
Solution étape par étape
Comment résoudre ce problème ?
- Choisir une option
- Weierstrass Substitution
- Produit de binômes avec terme commun
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Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ en appliquant la méthode d'intégration de la substitution trigonométrique à l'aide de la substitution suivante
Différencier les deux côtés de l'équation $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
Trouver la dérivée
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, où $x=\theta $
Maintenant, pour réécrire $d\theta$ en termes de $dx$, nous devons trouver la dérivée de $x$. Nous devons calculer $dx$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)$ et $n=2$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2$, $b=6\tan\left(\theta \right)^2$ et $c=\sqrt{\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}$
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)$ et $n=2$
Appliquer l'identité trigonométrique : $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, où $x=\theta $ et $n=6$
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=6$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ et $n=\frac{1}{2}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{a}$$=1$, où $a=\sqrt{6}$ et $a/a=\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Appliquer la formule : $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, où $a^n/a=\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}$, $a^n=\sec\left(\theta \right)^2$, $a=\sec\left(\theta \right)$ et $n=2$
Simplifier
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=6$ et $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Applying the trigonometric identity: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Nous identifions que l'intégrale a la forme $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si $n$ est impair et $m$ est pair, nous devons tout exprimer en termes de sécante, développer et intégrer chaque fonction séparément.
Multipliez le terme unique $\sec\left(\theta \right)$ par chaque terme du polynôme $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Appliquer la formule : $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, où $x^nx=\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ et $n=2$
Multipliez le terme unique $\sec\left(\theta \right)$ par chaque terme du polynôme $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Développez l'intégrale $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.
Appliquer la formule : $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, où $dx=d\theta$, $x=\theta $ et $n=3$
Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=6$ et $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
Appliquer la formule : $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, où $a=6$, $b=2$, $ax/b=6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ et $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
Appliquer la formule : $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, où $x=\theta $
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
L'intégrale $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ se traduit par : $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Appliquer la formule : $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, où $x=\theta $
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
L'intégrale $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ se traduit par : $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Combinaison de termes similaires $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ et $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Appliquer la formule : $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, où $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ et $x=\sqrt{x^2+6}+x$
