Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für zyklische integration nach teilen. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können das Integral $\int e^x\sin\left(3x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Teile anwenden, um das Integral des Produkts zweier Funktionen mit der folgenden Formel zu berechnen
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, wobei $x=3x$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, wobei $n=3$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Identifizieren oder wählen Sie zunächst $u$ und berechnen Sie die Ableitung, $du$
Identifizieren Sie nun $dv$ und berechnen Sie $v$
Lösen Sie das Integral und finden Sie $v$
Wenden Sie die Formel an: $\int e^xdx$$=e^x+C$
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=3$ und $x=e^x\cos\left(3x\right)$
Ersetzen Sie nun die Werte von $u$, $du$ und $v$ in der letzten Formel
Wir können das Integral $\int e^x\cos\left(3x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Teile anwenden, um das Integral des Produkts zweier Funktionen mit der folgenden Formel zu berechnen
Identifizieren oder wählen Sie zunächst $u$ und berechnen Sie die Ableitung, $du$
Identifizieren Sie nun $dv$ und berechnen Sie $v$
Lösen Sie das Integral und finden Sie $v$
Wenden Sie die Formel an: $\int e^xdx$$=e^x+C$
Ersetzen Sie nun die Werte von $u$, $du$ und $v$ in der letzten Formel
Multiplizieren Sie den Einzelterm $-3$ mit jedem Term des Polynoms $\left(e^x\cos\left(3x\right)+3\int e^x\sin\left(3x\right)dx\right)$
Das Integral $-3\int e^x\cos\left(3x\right)dx$ ergibt sich: $-3e^x\cos\left(3x\right)-9\int e^x\sin\left(3x\right)dx$
Dieses Integral durch Teile stellte sich als zyklisch heraus (das Integral, das wir berechnen, erschien wieder auf der rechten Seite der Gleichung). Wir können es auf die linke Seite der Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen
Verschieben des zyklischen Integrals auf die linke Seite der Gleichung
Addieren der Integrale
Verschieben Sie den konstanten Term $10$ dividieren auf die andere Seite der Gleichung
Das Integral ergibt
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Multiplizieren Sie den Einzelterm $\frac{1}{10}$ mit jedem Term des Polynoms $\left(e^x\sin\left(3x\right)-3e^x\cos\left(3x\right)\right)$
Vereinfachung
Erweitern und vereinfachen
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