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Calculatrice Décomposition partielle des fractions

Résolvez vos problèmes de mathématiques avec notre calculatrice Décomposition partielle des fractions étape par étape. Améliorez vos compétences en mathématiques grâce à notre longue liste de problèmes difficiles. Retrouvez tous nos calculateurs ici.

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acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für partielle fraktionszersetzung. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:

$\frac{1}{x^2+2x-3}$
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Faktorisieren Sie das Trinom $x^2+2x-3$ und finden Sie zwei Zahlen, die multipliziert $-3$ und addiert bilden $2$

$\begin{matrix}\left(-1\right)\left(3\right)=-3\\ \left(-1\right)+\left(3\right)=2\end{matrix}$
3

Umschreiben des Polynoms als Produkt zweier Binome, die aus der Summe der Variablen und der gefundenen Werte bestehen

$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}$
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Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung

$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}$
5

Ermitteln Sie die Werte für die unbekannten Koeffizienten: $A, B$. Der erste Schritt ist die Multiplikation beider Seiten der Gleichung aus dem vorherigen Schritt mit $\left(x-1\right)\left(x+3\right)$

$1=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}\right)$
6

Multiplikation von Polynomen

$1=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)A}{x-1}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)B}{x+3}$
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Vereinfachung

$1=\left(x+3\right)A+\left(x-1\right)B$
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Indem wir $x$ Werte zuweisen, erhalten wir das folgende System von Gleichungen

$\begin{matrix}1=4A&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 1=2A-2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1)\end{matrix}$
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Lösen Sie nun das lineare Gleichungssystem

$\begin{matrix}4A & + & 0B & =1 \\ 2A & - & 2B & =1\end{matrix}$
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Umschreiben in eine Koeffizientenmatrix

$\left(\begin{matrix}4 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 1\end{matrix}\right)$
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Reduktion der Originalmatrix auf eine Identitätsmatrix mit Hilfe der Gaußschen Eliminierung

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$
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Der Bruch $\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}$ in zerlegten Brüchen ist gleich

$\frac{1}{4\left(x-1\right)}+\frac{-1}{4\left(x+3\right)}$

Réponse finale au problème

$\frac{1}{4\left(x-1\right)}+\frac{-1}{4\left(x+3\right)}$

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