Réécrire l'équation différentielle en utilisant la notation de Leibniz

Appliquer la formule : $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to a\frac{dy}{dx}=f-c$, où $a=\sin\left(x\right)+x^2e^y-1$, $c=y\cos\left(x\right)+2xe^y$ et $f=0$

Appliquer la formule : $a\frac{dy}{dx}=f$$\to \frac{dy}{dx}factor\left(a\right)=factor\left(f\right)$, où $a=\sin\left(x\right)+x^2e^y-1$ et $f=-\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)$

Appliquer la formule : $a\frac{dy}{dx}=c$$\to \frac{dy}{dx}=\frac{c}{a}$, où $a=x^2e^y+\sin\left(x\right)-1$ et $c=-\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)$

Réécrire l'équation différentielle sous la forme standard $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

L'équation différentielle $x^2e^y+\sin\left(x\right)-1dy1\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)dx=0$ est exacte, puisqu'elle s'écrit sous la forme standard $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, où $M(x,y)$ et $N(x,y)$ sont les dérivées partielles d'une fonction à deux variables $f(x,y)$ et satisfont au test d'exactitude : $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En d'autres termes, leurs dérivées partielles secondes sont égales. La solution générale de l'équation différentielle est de la forme suivante $f(x,y)=C$

Nous avons trouvé notre $f(x,y)$ et il est égal à

La solution de l'équation différentielle est alors la suivante