Exercice
derivdef(ln(x))
Solution étape par étape
1
Appliquer la formule : derivdef(x)=limh→0(heval(x,var+h)−x), où derivdefx=derivdef(ln(x)) et x=ln(x)
h→0lim(hln(x+h)−ln(x))
2
Appliquer la formule : ln(a)−ln(b)=ln(ba), où a=x+h et b=x
h→0lim(hln(xx+h))
3
Appliquer la formule : ba=b1a, où a=ln(xx+h) et b=h
h→0lim(h1ln(xx+h))
4
Appliquer la formule : aln(x)=ln(xa), où a=h1 et x=xx+h
h→0lim(ln((xx+h)h1))
5
Développer la fraction (xx+h) en 2 fractions plus simples à dénominateur commun x
h→0lim(ln((xx+xh)h1))
Étapes intermédiaires
6
Simplifier les fractions obtenues
h→0lim(ln((1+xh)h1))
7
Appliquer la formule : limh→0(ln((1+xh)h1))=limn→∞(ln((1+n1)xn)), où h/x=xh, 1+h/x=1+xh, h−>0=h→0 et 1/h=h1
n→∞lim(ln((1+n1)xn))
8
Appliquer la formule : acb=(ab)c1, où a=1+n1, b=n, c=x et b/c=xn
n→∞lim(ln(((1+n1)n)x1))
9
Appliquer la formule : ln(xa)=aln(x), où a=x1 et x=(1+n1)n
n→∞lim(x1ln((1+n1)n))
10
Appliquer la formule : limx→c(ab)=alimx→c(b), où a=x1, b=ln((1+n1)n), c=∞ et x=n
x1n→∞lim(ln((1+n1)n))
11
Appliquer la formule : limx→c(ln(a))=ln(limx→c(a)), où a=(1+n1)n, c=∞ et x=n
x1ln(n→∞lim((1+n1)n))
12
Appliquer la formule : limx→∞((1+xa)x)=ea, où a=1 et x=n
ln(e1)x1
13
Appliquer la formule : ln(x)=logf(x,e), où x=e1
Réponse finale au problème