Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int2\sqrt{-\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+4}dx$ en appliquant la méthode d'intégration de la substitution trigonométrique à l'aide de la substitution suivante

Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ et $n=2$

Appliquer la formule : $x+ax$$=x\left(1+a\right)$, où $a=-\sin\left(\theta \right)^2$ et $x=4$

Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=4$, $b=1-\sin\left(\theta \right)^2$ et $n=\frac{1}{2}$

Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=4$ et $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$

Simplify $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$

Appliquer la formule : $x\cdot x$$=x^2$, où $x=\cos\left(\theta \right)$

Appliquer la formule : $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, où $x=\theta $

Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$

Appliquer l'identité trigonométrique : $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, où $x=\theta $

Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ et $ca/b=2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$