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Exercice

∫(sin⁡−1(x)x3)dx\int\left(\frac{\sin^{-1}\left(x\right)}{x^3}\right)dx

Solution étape par étape

1

Appliquer la formule : axb\frac{a}{x^b}=ax−b=ax^{-b}, où a=arcsin⁡(x)a=\arcsin\left(x\right) et b=3b=3

∫x−3arcsin⁡(x)dx\int x^{-3}\arcsin\left(x\right)dx
2

Nous pouvons résoudre l'intégrale ∫x−3arcsin⁡(x)dx\int x^{-3}\arcsin\left(x\right)dx en appliquant la méthode d'intégration par parties pour calculer l'intégrale du produit de deux fonctions, à l'aide de la formule suivante

Vous aimez ce diagramme ? Essayez notre générateur de diagrammes
∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du
3

Tout d'abord, identifiez ou choisissez uu et calculez sa dérivée, dudu

u=arcsin⁡(x)du=11−x2dx\begin{matrix}\displaystyle{u=\arcsin\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}\end{matrix}
4

Identifiez maintenant dvdv et calculez vv

dv=x−3dx∫dv=∫x−3dx\begin{matrix}\displaystyle{dv=x^{-3}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int x^{-3}dx}\end{matrix}
5

Résoudre l'intégrale pour trouver vv

v=∫x−3dxv=\int x^{-3}dx
6

Appliquer la formule : ∫xndx\int x^ndx=x(n+1)n+1+C=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C, où n=−3n=-3

x−2−2\frac{x^{-2}}{-2}
7

Appliquer la formule : xax^a=1x∣a∣=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}

1x2−2\frac{\frac{1}{x^{2}}}{-2}
8

Remplacez maintenant les valeurs de uu, dudu et vv dans la dernière formule

arcsin⁡(x)−2x2−∫1−21−x2x2dx\frac{\arcsin\left(x\right)}{-2x^{2}}-\int\frac{1}{-2\sqrt{1-x^2}x^{2}}dx
9

L'intégrale −∫1−21−x2x2dx-\int\frac{1}{-2\sqrt{1-x^2}x^{2}}dx se traduit par : −1−x22x\frac{-\sqrt{1-x^2}}{2x}

−1−x22x\frac{-\sqrt{1-x^2}}{2x}
10

Rassembler les résultats de toutes les intégrales

arcsin⁡(x)−2x2+−1−x22x\frac{\arcsin\left(x\right)}{-2x^{2}}+\frac{-\sqrt{1-x^2}}{2x}
11

Simplifier l'expression

−arcsin⁡(x)−1−x2x2x2\frac{-\arcsin\left(x\right)-\sqrt{1-x^2}x}{2x^{2}}
12

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration CC

−arcsin⁡(x)−1−x2x2x2+C0\frac{-\arcsin\left(x\right)-\sqrt{1-x^2}x}{2x^{2}}+C_0

Réponse finale au problème

−arcsin⁡(x)−1−x2x2x2+C0\frac{-\arcsin\left(x\right)-\sqrt{1-x^2}x}{2x^{2}}+C_0

Comment résoudre ce problème ?

  • Choisir une option
  • Weierstrass Substitution
  • Produit de binômes avec terme commun
  • En savoir plus...
Vous ne trouvez pas de méthode ? Dites-le nous pour que nous puissions lajouter.

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dydx=2x2−1y\frac{dy}{dx}=\frac{2x^2-1}{y}
∫(sin−1(x)x3 )dx
Mode symbolique
Mode texte
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n
u
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y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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