Exercice
$\int\frac{x^3}{\left(x^3-1\right)^2}dx$
Solution étape par étape
Apprenez en ligne à résoudre des problèmes étape par étape. int((x^3)/((x^3-1)^2))dx. Réécrire l'expression \frac{x^3}{\left(x^3-1\right)^2} à l'intérieur de l'intégrale sous forme factorisée. Réécrire la fraction \frac{x^3}{\left(x+1\right)^2\left(x^{2}-x+1\right)^2} en 4 fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions. Développez l'intégrale \int\left(\frac{-1}{9\left(x+1\right)^2}+\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}{\left(x^{2}-x+1\right)^2}+\frac{1}{9\left(x+1\right)}+\frac{-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}}{x^{2}-x+1}\right)dx en intégrales 4 à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.. L'intégrale \int\frac{-1}{9\left(x+1\right)^2}dx se traduit par : \frac{1}{9\left(x+1\right)}.
Réponse finale au problème
$\frac{1}{9\left(x+1\right)}+\frac{4\sqrt{3}}{27}\left(\frac{\sqrt{\left(3\right)^{3}}}{-8\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)}-\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{-1+2x}{\sqrt{3}}\right)+\frac{-\sqrt{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)}{4\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)}\right)+\frac{1}{9}\ln\left|x+1\right|+\frac{5\sqrt{3}}{27}\arctan\left(\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{9}\ln\left|\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right|+C_2$