Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{4\sec\left(x\right)-1}dx$ en appliquant la méthode de substitution de Weierstrass (également connue sous le nom de substitution du demi-angle tangent) qui convertit une intégrale de fonctions trigonométriques en une fonction rationnelle de $t$ en établissant la substitution suivante

D'où

En substituant l'intégrale d'origine, on obtient

Appliquer la formule : $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, où $a=2$, $b=1-t^{2}$ et $c=\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)$

Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=1$, $b=t^{2}$, $x=4$ et $a+b=1+t^{2}$

Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=1$, $b=-t^{2}$, $x=-1$ et $a+b=1-t^{2}$

Développez l'intégrale $\int\left(\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}\right)dt$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.

Rassembler les résultats de toutes les intégrales

Remplacez $t$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$