Exercice$\int\frac{1}{\left(sinx+cosx\right)^3}dx$
Solution étape par étape
Étapes intermédiaires
1
Simplifier $\frac{1}{\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^3}$ en $\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ en appliquant les identités trigonométriques
$\int\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}dx$
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2
Appliquer la formule : $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, où $c=\sqrt{\left(2\right)^{3}}$ et $x=\csc\left(x+45\right)^3$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(x+45\right)^3dx$
3
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\csc\left(x+45\right)^3dx$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $x+45$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
$u=x+45$
Étapes intermédiaires
4
Maintenant, pour réécrire $dx$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
$du=dx$
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5
En substituant $u$ et $dx$ dans l'intégrale et en simplifiant
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^3du$
6
Appliquer la formule : $\int\csc\left(\theta \right)^3dx$$=\int\csc\left(\theta \right)^2\csc\left(\theta \right)dx$, où $dx=du$ et $x=u$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$
7
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$ en appliquant la méthode d'intégration par parties pour calculer l'intégrale du produit de deux fonctions, à l'aide de la formule suivante
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Étapes intermédiaires
8
Tout d'abord, identifiez ou choisissez $u$ et calculez sa dérivée, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\csc\left(u\right)}\\ \displaystyle{du=-\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)du}\end{matrix}$
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9
Identifiez maintenant $dv$ et calculez $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\csc\left(u\right)^2du}\\ \displaystyle{\int dv=\int \csc\left(u\right)^2du}\end{matrix}$
10
Résoudre l'intégrale pour trouver $v$
$v=\int\csc\left(u\right)^2du$
11
Appliquer la formule : $\int\csc\left(\theta \right)^2dx$$=-\cot\left(\theta \right)+C$, où $x=u$
$-\cot\left(u\right)$
Étapes intermédiaires
12
Remplacez maintenant les valeurs de $u$, $du$ et $v$ dans la dernière formule
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
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Étapes intermédiaires
13
Multipliez le terme unique $\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ par chaque terme du polynôme $\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
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14
Applying the trigonometric identity: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
15
Applying the trigonometric identity: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\left(\csc\left(u\right)^2-1\right)du$
16
Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=\csc\left(u\right)^2$, $b=-1$, $x=\csc\left(u\right)$ et $a+b=\csc\left(u\right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\left(\csc\left(u\right)\csc\left(u\right)^2-\csc\left(u\right)\right)du$
Étapes intermédiaires
17
Simplifier l'expression
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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Étapes intermédiaires
18
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $x+45$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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19
Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=\int\csc\left(u\right)^{3}du$, $b=\int-\csc\left(u\right)du$, $x=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ et $a+b=\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$
Étapes intermédiaires
20
L'intégrale $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$ se traduit par : $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
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21
Cette intégrale par parties s'est avérée être une intégrale cyclique (l'intégrale que nous calculons est réapparue dans le côté droit de l'équation). Nous pouvons la passer du côté gauche de l'équation avec le signe opposé
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
22
Déplacement de l'intégrale cyclique vers le côté gauche de l'équation
$\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
23
Addition des intégrales
$\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}+1\right)\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Étapes intermédiaires
$\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
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25
Déplacez le terme constant $\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ en le divisant de l'autre côté de l'équation.
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
27
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
28
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)+C_0$
Étapes intermédiaires
$\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
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Réponse finale au problème $\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
