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Exercice

$\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}$

Solution étape par étape

1

Nous identifions que l'équation différentielle $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ est une équation différentielle de Bernoulli puisqu'elle est de la forme $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, où $n$ est un nombre réel quelconque différent de $0$ et $1$. Pour résoudre cette équation, nous pouvons appliquer la substitution suivante. Définissons une nouvelle variable $u$ et fixons-la à

$u=y^{\left(1-n\right)}$
2

Introduisez la valeur de $n$, qui est égale à $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
3

Simplifier

$u=y^{2}$
4

Isoler la variable dépendante $y$

$y=\sqrt{u}$
5

Différencier les deux côtés de l'équation par rapport à la variable indépendante $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
6

Maintenant, substituez $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ et $y=\sqrt{u}$ à l'équation différentielle originale

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
7

Simplifier

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
8

Nous devons annuler le terme qui se trouve devant $\frac{du}{dx}$. Nous pouvons le faire en multipliant toute l'équation différentielle par $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
9

Multiplier les deux côtés par $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$
10

Développez et simplifiez. Nous voyons maintenant que l'équation différentielle ressemble à une équation différentielle linéaire, car nous avons supprimé le terme original $y^{-1}$.

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
11

Appliquer la formule : $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, où $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ et $f=\frac{x}{6}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
12

Nous pouvons identifier que l'équation différentielle a la forme : $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$ Nous pouvons donc la classer comme une équation différentielle linéaire du premier ordre, où $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ et $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Pour résoudre l'équation différentielle, la première étape consiste à trouver le facteur d'intégration. $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
13

Pour trouver $\mu(x)$, nous devons d'abord calculer $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$
14

Le facteur d'intégration $\mu(x)$ est donc

$\mu(x)=x^{-2}$
15

Maintenant, multipliez tous les termes de l'équation différentielle par le facteur d'intégration $\mu(x)$ et vérifiez si nous pouvons simplifier

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Nous pouvons constater que le côté gauche de l'équation différentielle consiste en la dérivée du produit de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
17

Intégrer les deux côtés de l'équation différentielle par rapport à $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
18

Simplifier le côté gauche de l'équation différentielle

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Appliquer la formule : $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, où $a=-1$ et $b=3$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Appliquer la formule : $x^1$$=x$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$
21

Résoudre l'intégrale $\int\frac{2}{3x}dx$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Remplacer $u$ par la valeur $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
23

Appliquer la formule : $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Appliquer la formule : $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
25

Trouvez la solution explicite de l'équation différentielle. Nous devons isoler la variable $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Réponse finale au problème

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Comment résoudre ce problème ?

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Sujet principal: Factorisation

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