Réponse finale au problème
Solution étape par étape
Comment résoudre ce problème ?
- Weierstrass Substitution
- Produit de binômes avec terme commun
- Méthode FOIL
- En savoir plus...
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ en appliquant la méthode d'intégration tabulaire par parties, qui nous permet d'effectuer des intégrations successives par parties sur des intégrales de la forme $\int P(x)T(x) dx$. $P(x)$ est typiquement une fonction polynomiale et $T(x)$ est une fonction transcendante telle que $\sin(x)$, $\cos(x)$ et $e^x$. La première étape consiste à choisir les fonctions $P(x)$ et $T(x)$
Trouvez la dérivée de $x^2$ par rapport à $x$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, où $a=2$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, où $n=2$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=2$
Dériver $P(x)$ jusqu'à ce qu'il devienne $0$
Trouver l'intégrale de $\sin\left(x\right)$ par rapport à $x$
Appliquer la formule : $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=-1$ et $x=\cos\left(x\right)$
Appliquer la formule : $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=-1$ et $x=\sin\left(x\right)$
Appliquer la formule : $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=\cos\left(x\right)$
Intégrer $T(x)$ autant de fois que nous avons dû dériver $P(x)$, nous devons donc intégrer $\sin\left(x\right)$ un total de $3$ fois.
Avec les dérivées et les intégrales des deux fonctions, nous construisons le tableau suivant
La solution est alors la somme des produits des dérivées et des intégrales selon le tableau précédent. Le premier terme est le produit de la fonction polynomiale par la première intégrale. Le deuxième terme est le produit de la dérivée première par l'intégrale seconde, et ainsi de suite.
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
