Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ en appliquant la méthode d'intégration de la substitution trigonométrique à l'aide de la substitution suivante
Maintenant, pour réécrire $d\theta$ en termes de $dx$, nous devons trouver la dérivée de $x$. Nous devons calculer $dx$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Simplifier
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=6$ et $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Nous identifions que l'intégrale a la forme $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si $n$ est impair et $m$ est pair, nous devons tout exprimer en termes de sécante, développer et intégrer chaque fonction séparément.
Multipliez le terme unique $\sec\left(\theta \right)$ par chaque terme du polynôme $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Développez l'intégrale $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.
L'intégrale $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ se traduit par : $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
L'intégrale $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ se traduit par : $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Combinaison de termes similaires $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ et $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Appliquer la formule : $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, où $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ et $x=\sqrt{x^2+6}+x$
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