Réponse finale au problème
Solution étape par étape
Comment résoudre ce problème ?
- Weierstrass Substitution
- Produit de binômes avec terme commun
- Méthode FOIL
- En savoir plus...
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ en appliquant la méthode d'intégration de la substitution trigonométrique à l'aide de la substitution suivante
Différencier les deux côtés de l'équation $x=\sec\left(\theta \right)$
Trouver la dérivée
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\sec\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, où $x=\theta $
Maintenant, pour réécrire $d\theta$ en termes de $dx$, nous devons trouver la dérivée de $x$. Nous devons calculer $dx$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, $b=\sec\left(\theta \right)$ et $c=\sec\left(\theta \right)^2-1$
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, où $a=\tan\left(\theta \right)$ et $n=2$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{\sec\left(\theta \right)^n}{\tan\left(\theta \right)}$$=\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\csc\left(\theta \right)$, où $x=\theta $ et $n=2$
Réécrire l'expression trigonométrique $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ à l'intérieur de l'intégrale
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sec\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\cos\left(\theta \right)}$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=\csc\left(\theta \right)$, $b=1$ et $c=\cos\left(\theta \right)$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=\csc\left(\theta \right)$
Réduire $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ en appliquant les identités trigonométriques
Appliquer l'identité trigonométrique : $\csc\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, où $a=1$, $b=\sin\left(\theta \right)$, $c=\cos\left(\theta \right)$, $a/b/c=\frac{\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}}{\cos\left(\theta \right)}$ et $a/b=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$$=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, où $a=1$, $b=\sin\left(2\theta \right)$, $c=2$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}}$ et $b/c=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{n}{\sin\left(\theta \right)}$$=n\csc\left(\theta \right)$, où $x=2\theta $ et $n=2$
Réécrire l'expression trigonométrique $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ à l'intérieur de l'intégrale
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=2$ et $x=\csc\left(2\theta \right)$
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $2\theta $ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
Différencier les deux côtés de l'équation $u=2\theta $
Trouver la dérivée
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, où $x=\theta $ et $n=2$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, où $x=\theta $
Maintenant, pour réécrire $d\theta$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Appliquer la formule : $a=b$$\to b=a$, où $a=du$ et $b=2\cdot d\theta$
Appliquer la formule : $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, où $a=2$, $b=du$ et $x=d\theta$
Isoler $d\theta$ dans l'équation précédente
En substituant $u$ et $d\theta$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, où $c=2$ et $x=\csc\left(u\right)$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ et $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
Appliquer la formule : $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, où $x=u$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $2\theta $
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $2\theta $
Appliquer l'identité trigonométrique : $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, où $x=\theta $, $nx=2\theta $ et $n=2$
Appliquer la formule : $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$=-\ln\left(x\right)$, où $x=\sqrt{x^2-1}$ et $1/x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
Appliquer la formule : $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, où $a=\frac{1}{2}$ et $x=x^2-1$
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=\frac{1}{2}\ln\left(x^2-1\right)$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
