Exercice

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$

Solution étape par étape

1

Si nous évaluons directement la limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$ lorsque $x$ tend vers $0$, nous pouvons voir qu'elle nous donne une forme indéterminée

$\frac{0}{0}$
2

Nous pouvons résoudre cette limite en appliquant la règle de L'Hôpital, qui consiste à calculer la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)}\right)$
3

Après avoir dérivé le numérateur et le dénominateur, et simplifié, la limite se traduit par

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$
4

Si nous évaluons directement la limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$ lorsque $x$ tend vers $0$, nous pouvons voir qu'elle nous donne une forme indéterminée

$\frac{0}{0}$
5

Nous pouvons résoudre cette limite en appliquant la règle de L'Hôpital, qui consiste à calculer la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(2x\right)}\right)$
6

Après avoir dérivé le numérateur et le dénominateur, et simplifié, la limite se traduit par

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)$
7

Evaluez la limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)$ en remplaçant toutes les occurrences de $x$ par $0$

$\frac{\cos\left(0\right)}{2}$
8

Appliquer l'identité trigonométrique : $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, où $x=0$

$\frac{1}{2}$

Réponse finale au problème

$\frac{1}{2}$

Réponse numérique exacte

$0.5$

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ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
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