Simplifier l'expression
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\csc\left(2x\right)dx$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $2x$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
Maintenant, pour réécrire $dx$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Isoler $dx$ dans l'équation précédente
En substituant $u$ et $dx$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, où $c=2$ et $x=\csc\left(u\right)$
Appliquer la formule : $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, où $x=u$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ et $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $2x$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, où $nx=2x$ et $n=2$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
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