Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ en appliquant la méthode de substitution de Weierstrass (également connue sous le nom de substitution du demi-angle tangent) qui convertit une intégrale de fonctions trigonométriques en une fonction rationnelle de $t$ en établissant la substitution suivante

D'où

En substituant l'intégrale d'origine, on obtient

Appliquer la formule : $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, où $a=1+t^{2}$, $b=\left(1-t^{2}\right)t$ et $c=2$

Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $1-t^{2}$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie

Isoler $dt$ dans l'équation précédente

Rassembler les résultats de toutes les intégrales

Remplacez $t$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$